连续与一致连续：δ 能否对所有点通用

先在一个点附近观察

设 $f:D\to\mathbb{R}$ ，且 $a\in D$ 。函数在 $a$ 连续，是说对每个 $\varepsilon>0$ ，都能找到 $\delta>0$ ，使所有满足 $x\in D$ 且 $|x-a|<\delta$ 的点都有

|f(x)-f(a)|<\varepsilon.

这里先固定了观察点 $a$ ，所以 $\delta$ 可以随 $a$ 改变。靠近不同的位置，需要用不同的放大倍数，并不妨碍函数处处连续。

一致连续要求：对每个 $\varepsilon>0$ ，存在同一个 $\delta>0$ ，对任意 $x,y\in D$ 都有

|x-y|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

此时 $\delta$ 只能依赖于误差要求，不能在看到 $x,y$ 之后重新挑选。定义看起来只少写了一个点，实际却要求整个定义域服从同一套尺度。

函数 $f(x)=x^2$ 在实数轴上处处连续，却不一致连续。取

x_n=n,\qquad y_n=n+\frac1n.

两点的距离为 $1/n\to0$ ，但函数值之差为

|f(y_n)-f(x_n)|=2+\frac1{n^2}>2.

例如固定 $\varepsilon=1$ ，无论给出多小的 $\delta$ ，总能取足够大的 $n$ ，使自变量距离小于 $\delta$ ，而函数值仍相差超过 $1$ 。这正好否定了一致连续的定义。

在 $[-R,R]$ 上，若 $R>0$ ，则

|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le2R|x-y|.

取 $\delta=\varepsilon/(2R)$ 即可得到一致连续性。更一般地，紧集上的连续函数一定一致连续。这个结论说明，判断连续性质时，函数表达式与定义域必须一起看；换了定义域，答案也可能改变。

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