幂等映射与直和分解

设 $V$ 是域 $\mathbb K$ 上的有限维向量空间， $P:V\to V$ 为线性映射且 $P^2=P$ 。证明

V=\ker P\oplus\operatorname{im}P,

并说明 $P$ 可以对角化，其对角元只能是 $0$ 或 $1$ 。

先观察 $v=(v-Pv)+Pv$ 。再次作用 $P$ 时，前一部分被消去，后一部分保持不变。

若 $w\in\operatorname{im}P$ ，则 $Pw=w$ 。

Proof.展开 / 收起

存在 $u\in V$ 使 $w=Pu$ ，所以 $Pw=P^2u=Pu=w$ 。

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Proof. · 直和分解与适配基展开 / 收起

对任意 $v\in V$ ，有 $P(v-Pv)=Pv-P^2v=0$ ，所以 $v-Pv\in\ker P$ 。因此上述拆分给出 $V=\ker P+\operatorname{im}P$ 。

若 $w$ 同时属于核与像，则 $Pw=0$ ，又由引理得 $Pw=w$ ，故 $w=0$ 。这就证明了直和。

分别取核与像的一组基，合并即得 $V$ 的一组基。在此基下，若 $r=\dim\operatorname{im}P$ ，则

[P]=\begin{pmatrix}0_{n-r}&0\\0&I_r\end{pmatrix}, \qquad n=\dim V.

这已经是对角矩阵，结论成立。 $P=0$ 与 $P=I$ 也包含在内。

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即使 $V$ 是实内积空间， $P^2=P$ 本身也不保证核与像正交。若还满足 $P$ 自伴，则对 $u\in\ker P$ 、 $w=Pv\in\operatorname{im}P$ ，有 $\langle u,w\rangle=\langle Pu,v\rangle=0$ 。

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