牛顿法：从切线到局部二次收敛

从一条切线开始

求解 $f(x)=0$ 时，可以先在当前点 $x_n$ 处用切线近似曲线，再把切线与横轴的交点作为下一次迭代值。于是得到

这个几何想法很简单，但速度快并不意味着从任意位置出发都能找到根。导数接近零时，切线交点可能离得很远；函数的形状也可能让迭代在几个点之间来回跳动。因此，讨论收敛速度之前，应先说明根与初值满足什么条件。

局部结论需要哪些条件

设 $\alpha$ 是方程的根，$f$ 在 $\alpha$ 的某个邻域内二阶连续可微，并且 $f'(\alpha)\ne 0$。最后一个条件说明 $\alpha$ 是单根。由导数的连续性，可以取一个足够小的闭区间，使其中

下界保证迭代中的除法有意义，上界则控制切线近似留下的误差。它们不是额外的神秘假设，而是连续性在小邻域内给出的具体信息。

用泰勒展开看误差

记 $e_n=x_n-\alpha$。在 $x_n$ 处展开 $f(\alpha)=0$，其中 $\xi_n$ 位于 $x_n$ 与 $\alpha$ 之间：

代入迭代公式，线性项恰好消去，得到

再选取半径 $r>0$，使上述区间包含 $[\alpha-r,\alpha+r]$，且 $Cr<1$。若 $|e_0|\le r$，则误差界说明下一点仍在区间内，并且误差至少按固定比例缩小。归纳可知迭代始终有定义，且 $x_n\to\alpha$。这也补上了直接使用误差公式时容易遗漏的“迭代不会离开邻域”一步。

二次收敛意味着什么

若迭代没有有限步到达根，则

当右端非零时，收敛阶恰好为二；若右端为零，可能收敛得更快。比如求 $\sqrt{2}$ 时，取 $f(x)=x^2-2$、$x_0=1$，前几步为 $1.5$、$1.416666\ldots$、$1.414215\ldots$。计算展示了速度，证明解释了速度出现的条件；两者应当一起阅读。

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