Lagrange 插值：让多项式经过每一个节点

从条件开始

给定互不相同的节点 $x_0,\ldots,x_n$，希望找到次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n$，满足 $P_n(x_j)=f(x_j)$。

为每个节点构造一个基函数

定义

在自己的节点取值为 $1$，在其他节点取值为 $0$。因此线性组合

恰好满足所有插值条件。两个满足条件的多项式之差有至少 $n+1$ 个不同零点，而次数至多为 $n$，所以只能是零多项式。这也证明了唯一性。

更多节点一定更好吗

若 $f$ 在包含所有节点与求值点的区间上具有 $n+1$ 阶连续导数，则误差可写为

误差同时受到函数高阶导数和节点分布的影响。等距节点越来越多时，端点附近仍可能出现较大振荡。下一步可以比较等距节点与 Chebyshev 节点，并观察 Runge 现象。

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