一阶线性方程：把左边凑成一个导数

为什么要乘一个函数

考虑区间 $I$ 上的一阶线性方程

y'+p(x)y=q(x),

其中 $p,q$ 连续。我们希望乘上一个非零函数 $\mu$ ，使左边变成乘积的导数。比较

(\mu y)'=\mu y'+\mu' y

可知，只要 $\mu'=p\mu$ ，目标就能实现。积分因子因此来自乘积求导法则，而不是需要单独背下来的技巧。

设初值为 $y(x_0)=y_0$ ，记

P(x)=\int_{x_0}^{x}p(s)\,\mathrm{d}s, \qquad \mu(x)=e^{P(x)}.

这样 $\mu(x_0)=1$ ，积分常数的位置便很清楚。对 $(\mu y)'=\mu q$ 从 $x_0$ 积分到 $x$ ，得到

y(x)=e^{-P(x)} \left[y_0+\int_{x_0}^{x}e^{P(t)}q(t)\,\mathrm{d}t\right].

公式中，积分变量 $t$ 与外部变量 $x$ 各有职责；把它们写清楚，能减少换元和代入时的混淆。

求解 $y'+2y=e^{-x}$ ，且 $y(0)=0$ 。这里 $P(x)=2x$ ，所以

y(x)=e^{-2x}\int_0^x e^t\,\mathrm{d}t =e^{-x}-e^{-2x}.

求导后， $y'=-e^{-x}+2e^{-2x}$ ，于是 $y'+2y=e^{-x}$ ；同时 $y(0)=0$ 。把答案代回原方程与初值条件，比只检查最后一行的形式更可靠。

若原方程写成 $a(x)y'+b(x)y=c(x)$ ，需要先在 $a(x)\ne0$ 的区间内除以 $a(x)$ 。遇到零点时，不能直接沿用除法后的方程跨过去。积分因子本身始终为正，因此在系数连续的区间内不会引入新的除零问题。先确定区间，再做计算，是这类题目很有用的起点。

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