实分析

设 $X$ 是实数域或复数域上的无限维 Banach 空间。证明： $X$ 不存在可数的 Hamel 基。

这里，Hamel 基指每个向量都能唯一写成基向量的有限线性组合。先独立思考，再展开下方证明。

假如基可以数出来，就依次取前 $n$ 个基向量的张成空间。这些子空间能覆盖 $X$ ，却每一层都没有内部。完备性会阻止这种覆盖。

非空完备度量空间不能表示为可数个闭且内部为空的集合的并。因此，若非空 Banach 空间满足

X=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n,\qquad F_n\text{ 为闭集},

则至少有一个 $F_n$ 的内部非空。

赋范空间的任意有限维线性子空间 $F$ 都是闭集。

Proof. · 用坐标比较范数展开 / 收起

零子空间的结论显然。否则取 $F$ 的一组基 $v_1,\ldots,v_m$ ，定义

T:\mathbb K^m\longrightarrow F,\qquad T(a_1,\ldots,a_m)=\sum_{j=1}^{m}a_jv_j.

$T$ 连续且单射。在紧的欧氏单位球面上，连续函数 $a\mapsto\|Ta\|$ 处处为正，故存在常数 $c>0$ 使得

\|Ta\|\ge c\|a\|_2\qquad(a\in\mathbb K^m).

若 $Ta_k$ 在环境空间中收敛，则它是 Cauchy 列，上式保证 $a_k$ 也是 Cauchy 列。由 $\mathbb K^m$ 的完备性， $a_k\to a$ 。连续性给出 $Ta_k\to Ta\in F$ ，所以 $F$ 闭。

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赋范空间 $X$ 的真线性子空间 $F$ 的内部为空。

Proof.展开 / 收起

若某个开球 $B(x,r)$ 包含于 $F$ ，由于 $x\in F$ ，平移可得 $B(0,r)\subset F$ 。对任意 $y\in X$ ，取足够小的正数 $t$ 使 $ty\in B(0,r)$ 。线性性于是给出 $y\in F$ ，与 $F\ne X$ 矛盾。

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Proof. · 主证明展开 / 收起

反设 $X$ 有可数 Hamel 基 $\{e_1,e_2,\ldots\}$ 。令

F_n=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_n\}.

Hamel 展开只有有限项，因此每个向量都属于某个 $F_n$ ，即

X=\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n.

由两个引理，每个 $F_n$ 都闭，且因为 $X$ 无限维而为真子空间，所以内部为空。这与 Baire 纲定理矛盾。

故 $X$ 不存在可数 Hamel 基。

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结论不排除可数 Schauder 基：后者允许按范数收敛的无限级数展开。例如 $\ell^2$ 的标准单位向量构成 Schauder 基，却不构成 Hamel 基。

完备性也不可略去：只有有限项非零的序列空间 $c_{00}$ 在 $\ell^2$ 范数下不是完备的，它就有可数 Hamel 基。

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